ファクタリングする方法

「完全に要因」という指示を伴う数字または表現の光景は、あなたの心に恐怖を与えますか? 代数に注意を払いたいですか? さて、このインストラクションは、任意の数、またはAx ^ 2 + Bx + Cなどの適格な式を因数分解する方法を教えてくれます。

ステップ1:数値の因数分解

まず、要因は何ですか?

「自然数の要因」とは、整数の完全なセットであり、セット内のある数をセット内の別の数で乗算すると、ファクタリングしている数が得られます。

たとえば、5という数字には1と5という2つの要因があります。6という数字には1、2、3、6という4つの要因があります。

「整数係数」には負の数が含まれます。

この場合の数値5には、-5、-1、1、5の4つの要素があります。6には、-6、-3、-2、-1、1、2、3、6の8つの要素があります。

(自然数は、1、2、3、4、5 ...から無限大までの端数のない数です。整数は自然数であり、対応する負の数と0または...- 5、 -4、-3、-2、-1、0、1、2、3、4、5 ...)

自然数セットを使用した数値の因数分解は簡単です。 すべての数値には少なくとも2つの要因があります。 他の要因を見つけるには、2で始まる数値の除算を開始し、その数値を2で除算するまで進めます。剰余のない商は、除数と商の両方がその数値の因子であることを意味します。

数字の9を因数分解する必要があるとします。2で均等に除算できないため、スキップします。 (ソリューション4.5に注意してください。後で停止するタイミングがわかります。)9は3で割り切れるため、因子のリストに3を追加します。 5で割る(9を2で割る)まで切り上げます。 要因のリストとして1、3、および9になります。

整数セットの数値を因数分解するとき、自然数の因数分解からソリューションの負の等価物を追加できます。したがって、9には-9、-3、-1、1、3、9の因数があります。

負の数の因数分解は、整数の因数分解でのみ実行できます。 解決策は、正バージョンの数を因数分解することと同じです。 -9の係数は-9、-3、-1、1、3、および9です。

ゼロは、無限量の因子を持つ唯一の整数であり、因子としてゼロを持つ唯一の整数です。

ステップ2:式からGCFをファクタリングする

いいえ、上司の表情を考慮して、休憩室に誤ってコーヒーを入れたと言っているわけではありません。

代数式は、係数と呼ばれる数値と、累乗できる変数で構成されます。 式x ^ 2 + 6x + 8では、1は変数x ^ 2の係数です。 (変数の前に係数が表示されない場合、x ^ 2に1が乗算されるため、1です。)同様に、6はx ^ 1の係数です。 (1つの変数は1の累乗になります。)8は定数と呼ばれます-変数で乗算されません。 (x ^ 0で乗算されていることを視覚化できます。0乗した数値は1に等しくなります)。

式を因数分解するには、GCF、または最大公約数を因数分解することから始める必要があります。 式の各コンポーネントの因子をリストします。 ここでは、自然数因子を見つけることに興味があります。

式x ^ 2 + 6x + 8には、次のような要因があります。

x ^ 2: 1
6x:1、2、3、6
8:1、2、4、8

3つのリストを見ると、それらすべてが共通して共有しているものは1つだけです。 これは、因数分解する係数が1より大きいことを意味します。

次に、指数のパワーを調べます。 2、1、および0。ゼロが表示される場合、式は変数で因数分解できません。

この式は次のステップの準備ができています。

以下に、ファクタリングする必要があるGCFがある例:2x ^ 3 + 18x ^ 2 + 10xを示します。 各部分を因数分解する

2x ^ 3: 1、2
18x ^ 2:1、2、3、6、9、18
10x:1、2、5、10

ここでは、部品に共通の1と2があることがわかります。 最大数の2を見つけます。

次に、指数のべき乗、3、2、および1を調べます。0ではない最小の数値、この場合は数値1を見つけます。 つまり、x ^ 1、または単にxを式に分割できます。

数値と変数を乗算して2倍にします。 次に、式の各部分を2倍で除算します。

2x ^ 3 / 2x = x ^ 2
18x ^ 2 / 2x = 9x
10x / 2x = 5

GCFを因数分解した式は2x(x ^ 2 + 9x + 5)です。 因数分解された式を括弧で囲み、その横にGCFを記述する必要があることに注意してください。

ステップ3:二項式の因数分解

二項式は、2つの用語のみが追加された式です。

2x ^ 2-4xは二項式の例です。 (負の4xが2x2に追加されていると言えます。)

最初に、GCFを2倍にします。 2x(x-2)が残っています。 これは、この二項式ができる限りです。 1x +/- nの形式の二項式は、さらに因数分解できません。



自然数である平方根を持つ負の数に追加される偶数の指数を持つ変数である二項式がある場合、それは完全平方と呼ばれます。

x ^ 2-4はこの例です。 変数の平方根と正の定数の平方根の積、および変数の平方根から正の定数の平方根を引いた積として表すことができます。

え?

基本的に、変数の平方根を取ります。 最終的にxになります。 次に、4の平方根になります。2になります。それらを一緒に追加すると、x + 2になります。 それらを減算すると、x-2が得られます。 2つを掛けると、(x + 4)(x-4)が得られます。 完璧な正方形を因数分解しました。

FOILを使用して(x + 2)(x-2)を乗算すると、x ^ 2-4に戻ります。

(FOIL:First Outer Inner Last、2つの二項を乗算する方法。二項の最初の項(この場合はxとx)、次に外側の2(xと-2)、次に内側の2(2とx)、最後の項(2と-2)、それらをすべて加算しますx ^ 2-2x + 2x-4 = x ^ 2-4.)

この例のように、二項式の1つが完全な正方形である場合、これを再度行うことができます。

x ^ 4-16 =(x ^ 2 + 4) (x ^ 2-4) =(x ^ 2 + 4)(x + 2)(x-2)。

無理数を持ち込んだ場合、これはさらに考慮されます。ステップ[9]を参照してください。



(x ^ 3 + b ^ 3)の形式で二項を分解する方法:

(a-b)(a ^ 2 + ab + b ^ 2)に接続するだけです。 たとえば、(x ^ 3 + 8)=(x-2)(x ^ 2 + 2x + 4)。

(x ^ 3 - b ^ 3)の形式で二項を分解する方法:

(a + b)(a ^ 2-ab + b2)に差し込みます。 式の最初の2つの記号が入れ替わっていることに注意してください。

(x ^ 3-8)=(x + 2)(x ^ 2-2x + 4)。

ステップ[4]で三項式を因数分解する方法を学習したら、両方の例をさらに因数分解できます。

ステップ4:三項式の因数分解

三項式:3つの用語が一緒に追加された式。 2x ^ 2 + 6x-8は幸運なデモンストレーターとして機能します。

まず、GCFを除外します。 これは、任意の式をファクタリングするときの最初のステップです。

2(x ^ 2 + 3x-4)

GCFを除外した後、xのべき乗が2を超える場合は、別の手順に進みます。

定数の整数因子をリストします。 次のように2つのペアを作成する必要があります。

-4、1
-2、2
-1、4

合計すると、2番目の項の係数3に等しいこれらの1つを見つける必要があります。-1+ 4 =3。ここから、xの内側に2組の括弧を記述します。

(x)(x)

次に、機能する2つの用語を括弧に入れます。

(x-1)(x + 4)

GCFを再度追加することを忘れないでください。

2(x-1)(x + 4)

それが三項式の因数分解です。

もう1つあります:2x ^ 2 + 11x-6。

今回はねじれがあります:x ^ 2の係数は1ではありません。これは、別のステップを追加することを意味します。

定数の係数-6、およびx2、2の係数をリストします。

-6、1
-3、2
-2、3
-1、6

1、2

次に、左側の各因子に1を掛け、右側に2を掛けます。1と2を切り替えて繰り返します。

-6、2
-3、4
-2、6
-1、12
-12、1
-6、2
-4、3
-2、6

中間項の係数に加算されるペアを見つけます。この場合、-1 + 12 = 11です。括弧を設定します。

(x)(x)

元の数値(1と2を乗算する前に持っていた)をそのまま使用します。

(x-1)(x + 6)

次に、1と2をxの係数として使用して、外側と内側の項を乗算して加算すると、11が得られるようにします。

(2x-1)(x + 6)

FOILして作業を確認すると、2x ^ 2 + 11x-6になります。 おめでとうございます!

ステップ5:置換による三項式の因数分解

9x ^ 4 + 45x ^ 2 + 14。

この式は、より小さい数値と可変の累乗で簡単に因数分解できると思いませんか?

次のように、より低い数値と可変のパワーを代用できます。

n = 3x ^ 2(可変累乗のGCF、およびxの累乗を掛けた数値の係数のGCFの平方根)を設定します。 次に、元の式の用語をnで除算して置き換えます。

n ^ 2 + 15n + 14。

これで、簡単にファクタリングできます。

(n + 14)(n + 1)。

nがある式に3x ^ 2を戻します。

(3x ^ 2 + 14)(3x ^ 2 + 1)。

ステップ6:二次方程式

(ステップ4から)取得した組み合わせがどれも正しくない場合は、2次方程式を使用する必要があります。

(-b +/- sqrt(b ^ 2-4ac))/ 2a

(sqrt(#)=#の平方根)

三項式の形式はax ^ 2 + bx + cです。

したがって、1x ^ 2 + 3x + 2で2次式を使用する場合は、次のようにプラグインします。

(-3 +/- sqrt(3 ^ 2-4(-2)(1))/ 2。

これにより、(-3 +/- sqrt 17)/ 2まで簡素化されます。 1x ^ 2 + 3x + 2の係数は(x-((-​​3 + sqrt 17)/ 2))(x-((-​​3-sqrt 17)/ 2))になります。 (答えを「x-」の右側に貼り付けます。それが機能する理由については、ステップ[8]で詳しく説明しています。)

ステップ7:グループ化による多項式の因数分解

時には、次のような4つ以上の用語を取得します。

2x ^ 2 + 6x ^ 3 + 5x ^ 7 + 15x ^ 8

共通の係数はなく、x ^ 2を因数分解してもあまり役に立ちません。 これは、グループ化を使用してファクタリングする場所です。

グループ化とは、式の2つの用語のみのGCFをファクタリングすることを意味します。 2x ^ 2 + 6x ^ 3と5x ^ 7 + 15x ^ 8の両方でGCFを取り出すことができます。 そうする。

2x ^ 2(1 + 3x)+ 5x ^ 7(1 + 3x)

共通の要因である1 + 3xがあることに注意してください。 この式は(2x ^ 2 + 5x ^ 7)(1 + 3x)に言い換えることができます。 あなたの答えがあります。

(2x ^ 2 + 5x ^ 7)(1 + 3x)は、最初の2項式からx ^ 2を因数分解してさらに因数分解できることに注意してください:x ^ 2(2 + 5x ^ 5)(1 + 3x)。

ステップ8:合成除算による多項式の因数分解

時には、希望を持たないように見える恐ろしい多項式が得られます。

3x ^ 3 + 8x ^ 2-9x + 2は一例です。 グループ化を使用して、共通の要因を生成するような方法でGCFを除外することはできません。

これがどのように機能するかを説明するために、因数分解によって方程式を解くとき、因数分解されたものを0に設定し、Xがゼロに等しくなるようにXが等しいかを調べる必要があることを知る必要があります。 たとえば、0 =(x-2)(x + 1)。 ソリューションは2および-1です。

多項式に整数係数がある場合、すべてのゼロまたは解の形式はP / Qです。ここで、P =定数項の係数、Q =先行係数の係数です。

基本的に、定数のすべての因子をリストし、それらをすべての組み合わせで先頭の係数(最高のパワーを持つ変数の隣の係数)の因子で割ると、考えられる合理的な解のリストが得られます。 これはどのようにファクタリングに役立ちますか? 解として2が得られた場合、逆算して、方程式の因子の1つが(x-2)であったと言うことができます。

したがって、例に戻ります。

2の要因:+/- 1、+ /-2(ネガを含める必要があります)
3の要因:+/- 1、+ /-3

P / Q:+/- 1、+ /-1/3、+ /-2、+ /-2/3

リストを作成したら、合成部門と呼ばれるものを使用して、それらのP / Qのどれが実際にソリューションであるかを確認します。

合成除算は、多項式をxk形式の2項式で除算する方法です。 私はそれがどのように機能するかを説明するつもりはありませんが、単にファクタリングのためにそれを使用する方法を示します。

最初に、P / Qの1つを小さなボックスまたは括弧のセットに入れてから、その隣の行に係数と定数をリストします。 多項式がべき乗(x ^ 2 + 2)をスキップする場合、x1があったはずの場所に0を追加する必要があります。

(式:3x ^ 3 + 8x ^ 2-9x + 2)

(アスタリスクは無視してください。これらはプレースホルダーとして使用されます。さらに良いことに、最初の図を参照してください。)

(1)3 8 -9 2



空白を残して線を引き、最初の用語3をドロップダウンします。

(1)3 8 -9 2


*** 3

次に、ボックス内の数値で乗算し、次の用語の下に配置します。

(1)3 8 -9 2
****** 3

*** 3

8 + 3を追加

(1)3 8 -9 2
****** 3

*** 3 11

かける。

(1)3 8 -9 2
****** 3 11

*** 3 11

追加。

(1)3 8 -9 2
****** 3 11

*** 3 11 2

かける。

(1)3 8 -9 2
****** 3 11 2

*** 3 11 2

追加。

(1)3 8 -9 2
****** 3 11 2

*** 3 11 2 4

数字のストリング3、11、2、4は、1度少ない式(元の式の最高指数が3の場合、商の最高指数は2)と剰余を与えます。

(元の表現:3x ^ 3 + 8x ^ 2-9x + 2)

商:3x ^ 2 + 11x + 2剰余4

剰余が得られた場合、試したボックス内の数値は方程式の解ではありません。 リストからその番号をクロスして、別の番号で再試行してください。 それはほとんど推測と確認です。

最終的には1/3を試してみると、きれいに分割されていることがわかります。 次のようになります。

(x-1/3)(3x ^ 2 + 9x-6)。

累乗2の三項式が得られたので、戻って因数分解できます。 最初にGCFを取り出すことを忘れないでください! (x-1/3)(3)(1x ^ 2 + 3x + 2)が残っています。 二次方程式を介して三項式を因数分解します(この方程式はステップ[6]で例として使用されているため、必要に応じて参照してください)。 最終的には(3)(x-1/3)(x-((-​​3 + sqrt 17)/ 2))(x-((-​​3-sqrt 17)/ 2))になります。 非常にいですが、それがあなたのやり方です。

ステップ9:さらに因数分解:不合理と虚数

(x ^ 2-2)のような平方変数から完全な根が減算されない二項数は、平方根を使用してさらに因数分解できます。 (x + sqrt(2))(x-sqrt(2))。 これは、不合理な数のセットをもたらします。

(x ^ 2 + 1)のような二乗変数に数値が追加された二項式は、虚数を使用してさらに因数分解できます。 「i」は負の平方根を表します。 (x ^ 2 + 1)は(x + i)(x-i)に因数分解できます。 これは、想像上の数字のセットをもたらします。

ステップ10:ハザ!

これで、おそらく出くわす数字または式をどのように因数分解するかがわかりました。 よかったね!

あなたのためにこれを行うことができるプログラムもあります。 「ポリルート」をグーグルで検索すると、コンピューターのいくつかのプログラムへのリンクが表示されます。 HP 39 / 40gsグラフ電卓には、ポリルート関数が組み込まれています。TI-89グラフ電卓がある場合は、因数分解機能もあります。 以前のモデルのTIグラフ計算機には組み込まれていませんが、ファクタリングプログラムがあります。 GoogleのTIグラフ電卓に転送できるプログラム用の「TI二次ソルバー」。

二次方程式をグラフ化し、「ゼロ」関数を使用してグラフがx軸と交差する場所を計算することにより、二次方程式の実際の解を見つけることもできます。 その番号を「x-」の隣に貼り付けることができます。

免責事項:ほとんどの数学クラスは、因数分解できる計算機を許可しないか、プログラム可能な計算機のメモリを(プログラムとともに)クリアします。 また、ソリューションに不自然なルートがある場合、答えとしては不適切な長い10進数の文字列が得られます。 手でそれを行う方法を学んでください。

関連記事